▷ Sistema binari, decimal, octal i hexadecimal què és i com funciona

Si ets estudiant d'Informàtica, electrònica o qualsevol branca d'enginyeria, una de les coses que hauràs de saber és realitzar conversions de sistemes de numeració. En informàtica, els sistemes de numeració utilitzats són deferents a què tradicionalment coneixem, com és el nostre sistema decimal. És per això que molt possiblement, si ens dediquem a el camp de la tecnologia tant d'informàtica, programació com altres similars, necessitarem conèixer els sistemes més utilitzats i com saber realitzar la conversió d'un sistema a un altre.

Índex de continguts

Com realitzar conversions de sistemes de numeració

És especialment útil conèixer el sistema de conversió de decimal a Binari i viceversa, ja que és el sistema de numeració amb què treballen directament els components d'un ordinador. Però també és molt útil conèixer el sistema hexadecimal, ja que és utilitzat per exemple per representar els codis de colors, claus i gran quantitat de codis del nostre equip.

Sistemes de numeració

Un sistema de numeració consisteix en la representació d'un conjunt de símbols i regles que permeten construir els nombres que són vàlids. Dit d'una altra manera, consisteix a utilitzar una sèrie de símbols acotats amb els quals serà possible formar altres valors numèrics sense cap límit.

Sense entrar massa en termes matemàtics de definicions, els sistemes més utilitzats per humans i màquines seran els següents:

sistema decimal

És un sistema de numeració posicional en què les quantitats són representades mitjançant la base aritmètica de el número deu.

A l'ésser la base el número deu, tindrem la capacitat de construir totes les xifres mitjançant deu nombres que són els que coneixem tots. 0, 1, 2 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9. Aquests números s'utilitzaran per a representar la posició de les potències de 10 en la formació de qualsevol nombre.

Llavors, podríem representar un nombre de la següent manera en aquest sistema de numeració:

Veiem que un nombre decimal és la suma de cada valor per la base 10 elevada a la posició-1 que ocupa cada terme. Això després ho tindrem molt present per a les conversions en els altres sistemes de numeració.

sistema Binari

El sistema binari és un sistema de numeració en el qual s'utilitza la base aritmètica 2. Aquest sistema és l'utilitzat pels ordinadors i sistemes digitals de forma interna per a realitzar absolutament tots els processos.

Aquest sistema de numeració només està representat per dues xifres, el 0 i l'1, és per això que és de base 2 (dues xifres) Amb ella es construiran totes les cadenes de valors.

sistema octal

Com amb les explicacions anteriors, ja ens podrem imaginar de que va això de el sistema octal. El sistema Octal és el sistema de numeració en el qual s'utilitza la base aritmètica 8, és a dir, tindrem 8 dígits diferents per representar tots els nombres. Aquests seran: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 i 7.

sistema Hexadecimal

Seguint les definicions anteriors, el sistema de numeració decimal és un sistema de numeració posicional que té amb base el número 16. En aquest punt ens preguntarem, com aconseguirem 16 números diferents, si per exemple el 10 és la combinació de dos nombres diferents?

Doncs molt senzill, ens els inventem, no nosaltres, sinó els que van inventar el sistema en qüestió. Els nombres que tindrem aquí seran: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E i F. això fa un total de 16 termes diferents. Si t'has fixat alguna vegada el codi numèric d'un color té aquest tipus de numeració, i és per això que veuràs com el blanc per exemple es representa com el valor FFFFFF. Ja veurem després que significa això.

Conversió entre sistema binari i sistema decimal

Per ser el més bàsic i fàcil d'entendre, començarem per realitzar la conversió entre aquests dos sistemes de numeració.

Converteix nombre de binari a decimal

Com hem vist al primer apartat, un nombre decimal el representem com la suma dels valors multiplicats per la potència de 10 a la posició-1 que ocupa. Si apliquem això a un nombre binari qualsevol, amb la seva corresponent base, tindrem el següent:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 maig	1 · 2 abril	1 · 2 mar	1 · 2 febrer	1 · 2 1	1 · 2 0

Però clar, si féssim el procediment com en el sistema decimal, obtindríem valors diferents de 0 i 1 que són els que només podem representar en aquest sistema de numeració.

Però precisament això serà molt útil per a realitzar la conversió a el sistema decimal. Calculem el resultat de cada valor a la seva casella:

1	0	0	1	1	0
1 · 2 maig = 32	1 · 2 4 = 0	1 · 2 = 3 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	1 · 2 0 = 0

Doncs si fem la suma d'aquests valors resultants de cada casella obtindrem el valor equivalent en decimal de la valor binari.

El valor en decimal de 100110 és 38

Només hem hagut de multiplicar el dígit (0 o 1) per la seva base (2) elevada a la posició-1 que ocupa en la xifra. Sumem els valors i tindrem el nombre a decimal.

Si no t'has quedat convençut, anem ara a fer el procés contrari:

Converteix nombre de decimal a binari

Si abans vam fer una multiplicació dels nombres i una suma per determinar el valor en decimal, ara el que haurem de fer és dividir la xifra decimal entre la base de el sistema a què el volem convertir, en aquest cas el 2.

Farem aquest procediment fins que ja no sigui possible efectuar cap divisió més. Vegem l'exemple de com es faria.

nombre	38	19	9	4	2	1
divisió	÷ 2 = 19	÷ 2 = 9	÷ 2 = 4	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
resta	0	1	1	0	0	1

Aquest és el resultat de fer les successives divisions fins a portar a mínim. Ja t'hauràs pogut adonar com funciona això. Si ara agafem les restes de cada divisió, i invertim la seva posició obtindrem el valor en binari de el nombre decimal. És a dir, començat des d'on vam finalitzar la divisió cap enrere:

Així tenim el següent resultat: 100110

Com veiem, hem aconseguit tornar a tenir exactament la mateixa xifra que a el principi de l'apartat.

Conversió nombre decimal fraccionari a binari

Com bé sabem, no solament hi ha nombres decimals sencers, sinó que també podrem trobar nombres reals (fraccions). I com a sistema de numeració que és, hauria de poder-se convertir un nombre de sistema decimal a sistema binari. Veiem com fer-ho. Anem a prendre d'exemple el nombre 38, 375

El que hem de fer és separar cadascuna de les parts. La part sencera ja sabem calcular-la, per la qual cosa anirem directament a la part decimal.

El procediment serà el següent: hem de prendre la part decimal i multiplicar-la per la base de el sistema, és a dir, 2. El resultat de la multiplicació hem de multiplicar novament fins a aconseguir una part fraccionària de 0. Si a l'efectuar la multiplicació apareix un nombre faccionario amb part sencera, només haurem d'agafar la fracció per a la següent multiplicació. Vegem l'exemple per a entendre-ho millor.

nombre	0, 375	0, 75	0, 50
multiplicació	* 2 = 0, 75	* 2 = 1, 50	* 2 = 1, 00
Part entera	0	1	1

Com veiem, anem agafant la part decimal i tornant a multiplicar fins a arribar a 1, 00 on el resultat sempre serà 0.

El resultat de 38, 375 en binari serà llavors 100.110, 011

Però Què passa quan no podem arribar mai a un resultat de 1, 00 en el procés? Vegem l'exemple amb 38, 45

nombre	0, 45	0, 90	0, 80	0, 60	0, 20	0, 40	0, 80
multiplicació	* 2 = 0, 90	* 2 = 1, 80	* 2 = 1, 60	* 2 = 1, 20	* 2 = 0, 40	* 2 = 0, 80	* 2 = 1, 60
Part entera	0	1	1	1	0	0	1

Com podem veure, a partir de 0, 80 el procés es fa diari, és a dir, mai arribarem a acabar el procediment perquè sempre ens apareixerà els números des del 0, 8 fins al 0, 4. Llavors el nostre resultat serà una aproximació de l'nombre decimal, com més lluny anem, més exactitud obtindrem.

Llavors: 38, 45 = 100.110, 01110011001 1001…

Vegem com fer el procés invers

Conversió nombre binari fraccionari a decimal

Aquest procés es durà a terme de la mateixa manera que el canvi de base normal, només que a partir de la coma les potències seran negatives. Agafem només la part sencera de l'nombre binari anterior:

0	1	1	1	0	0	1	...
0 · 2 -1 = 0	1 · 2 -2 = 0, 25	1 · 2 -3 = 0, 125	1 · 2 -4 = 0, 0625	1 · 2 -5 = 0	1 · 2 -6 = 0	1 · 2 -7 = 0, 0078125	…

Si sumem els resultats obtindrem:

0, 25 + 0, 125 + 0, 0625 + 0, 0078125 = 0, 4453

Si seguíssim realitzant operacions ens acostaríem cada vegada més a la valor exacte de 38, 45

Conversió entre sistema octal i sistema binari

Ara anem a procedir a veure com realitzar la conversió entre dos sistemes que no són el decimal, per a això agafarem el sistema octal i el sistema binari i farem el mateix procediment que en els apartats anteriors.

Converteix nombre de binari a octal

La conversió entre els dos sistemes de numeració és molt senzilla pel fet que la base de el sistema octal és la mateixa que en el sistema binari però elevat a la potència de 3, 2 ³ = 8. Llavors, en base a això, el que farem és agrupar els termes binaris en grups de tres començant des de la dreta cap a a esquerra i fer directament la conversió a un nombre decimal. Vegem l'exemple amb el número 100110:

1	0	0	1	1	0
100	110
0 · 2 2 = 4	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 0	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 2	0 · 2 0 = 0
4	6

Agrupem cada tres xifres i fem la conversió a decimal. El resultat final serà que 100110 = 46

Però, ¿i si no tenim grups perfectes de 3? Per exemple 1001101, tenim dos grups de 3 i un d'1, vegem com procedir:

0	0	1	0	0	1	1	0	1
001	100	110
0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	0 · 2 2 = 0	0 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1	1 · 2 2 = 4	1 · 2 1 = 0	1 · 2 0 = 1
1	1	5

Seguint el procediment, agafem els grups a partir de la dreta de el terme i quan arribem a la fin omplim amb tants zeros com siguin necessaris. En aquest cas, hem necessitat dos per completar l'últim grup. Llavors 1001101 = 115

Converteix nombre de octal a binari

Doncs el procediment és tan simple com fer el contrari, és a dir passar de binari a decimal en grups de 3. Vegem-ho amb el nombre 115

valor	1	1	5
divisió	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 0	0	0	÷ 2 = 2	÷ 2 = 1	-
resta	1	0	0	1	0	0	1	0	1
grup	001	001	101

D'aquesta manera veiem que 115 = 001.001.101 o que el que és el mateix 115 = 1.001.101

Conversió entre sistema octal i sistema decimal

Ara anem a veure com realitzar el procediment de passar d'sistema de numeració octal a l'decimal i viceversa. Veurem que el procediment és exactament el mateix que per al cas de el sistema decimal i binari, només que devem canviar la base a 8 en lloc de 2.

Farem els procediments directament amb termes amb part fraccionària.

Converteix nombre de decimal a octal

Seguint el procediment de l'mètode decimal-binari anem a fer-ho amb l'exemple de 238, 32:

Part sencera. Dividim per la base, que és 8:

nombre	238	29	3
divisió	÷ 8 = 29	÷ 8 = 3	-
resta	6	5	3

Part decimal, multipliquem per la base, que és 8:

nombre	0, 32	0, 56	0, 48	0, 84	0, 72	…
multiplicació	* 8 = 2, 56	* 8 = 4, 48	* 8 = 3, 84	* 8 = 6, 72	* 8 = 5, 76	…
Part entera	2	4	3	6	5	…

El resultat obtingut és el següent: 238, 32 = 356, 24365…

Converteix nombre de octal a decimal

Doncs bé, fem llavors el procés contrari. Anem a passar el nombre octal 356, 243 a decimal:

3	5	6	,	2	4	3
3 · 8 2 = 192	5 · 8 gener = 40	6 · 2 0 = 6		2 · 8 -1 = 0, 25	4 · 8 -2 = 0, 0625	3 · 8 -3 = 0, 005893

El resultat és: 192 + 40 + 6, 0, 25 + 0, 0625 + 0, 005893 = 238, 318

Conversió entre sistema hexadecimal i sistema decimal

Vam finalitzar llavors amb el procés de conversió entre el sistema de numeració hexadecimal i el sistema decimal.

Converteix nombre de decimal a hexadecimal

Seguint el procediment de l'mètode decimal-binari i decimal-octal anem a fer-ho amb l'exemple de 238, 32:

Part sencera. Dividim per la base, que és 16:

nombre	238	14
divisió	÷ 16 = 14	-
resta	I	I

Part decimal, multipliquem per la base, que és 16:

nombre	0, 32	0, 12	0, 92	0, 72	0, 52	…
multiplicació	* 16 = 5, 12	* 16 = 1, 92	* 16 = 14, 72	* 16 = 11, 52	* 16 = 8, 32	…
Part entera	5	1	I	B	8	…

El resultat obtingut és el següent: 238, 32 = EE, 51EB8…

Converteix nombre d'hexadecimal a decimal

Doncs bé, fem llavors el procés contrari. Anem a passar el nombre hexadecimal EE, 51E a decimal:

I	I	,	5	1	I
I · gener 16 = 224	E · 16 0 = 14		5 · 16 -1 = 0, 3125	1 · 16 -2 = 0, 003906	E · 16 -3 = 0, 00341

El resultat és: 224 + 14, 0, 3125 + 0, 003906 + 0, 00341 = 238, 3198…

Doncs aquestes són les principals formes de canviar de base d'un sistema de numeració a un altre. El sistema és aplicable a un sistema en qualsevol base i el sistema decimal, encara que aquests són els més utilitzats en el camp de la informàtica.

També et pot interessar:

Si tens algun dubte déjanosla en els comentaris. Tractarem d'ajudar-te.